假設(shè)現(xiàn)在有n對(duì)坐標(biāo)系中的點(diǎn)
現(xiàn)在要做k階多項(xiàng)式擬合，多項(xiàng)式函數(shù)如下
將已知的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)代入上述公式得到如下n組等式：
……
最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小，如下所示：
代入公式可以得到
可以通過上述公式對(duì)
求偏導(dǎo)后，令其為0來求解所有a的值，得到下面的式子
……
將上述方程整理歸納得
……
將上述方程用矩陣表述
將上述方程分解，令
那么上面的矩陣計(jì)算可以簡(jiǎn)化為
，所以得到
網(wǎng)上的一些證明到這里基本就結(jié)束了，但我覺得根據(jù)逆矩陣的特性還可以優(yōu)化的，在矩陣中AB的逆等于B的逆乘A的逆，如下
化簡(jiǎn)可以得到a為X的逆乘Y
計(jì)算出X的逆矩陣乘Y得到的就是多項(xiàng)式的系數(shù)，就能得到一個(gè)多項(xiàng)式了，曲線擬合就算完成了。
但是有沒有發(fā)現(xiàn)，X的逆矩陣計(jì)算量很大，還要明白如何求解逆矩陣的，用程序去實(shí)現(xiàn)也有一定難度。
后面會(huì)介紹一種法則，求解多項(xiàng)式的系數(shù)，套公式即可。以及用C語言實(shí)現(xiàn)最小二乘法的2次曲線擬合算法。
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